Limiti

Limite

Dato l'insieme \(A \subset \reals\), la funzione \(f: A \rightarrow \reals\) ed \(x_0\) punto di accumulazione per A,
\(L \in \bar \reals\) è il limite per x che tende a \(x_0\) di \(f(x)\) (scritto \(\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = L\) )
se \(\forall V\) intorno di \(L\) (ovvero sull'asse delle y) esiste \(u\) intorno di \(x_0\) (il punto sulle x) tale che \(x \in u \cap A \backslash \{x_0\} \Rightarrow f(x) \in V\)

Quindi un x nell'intorno di U (e nel dominio della funzione), ma diverso dal punto \(x_0\), "finisca" nell'intorno V di L, sull'asse delle y)

Questo significa che, dato un punto \(x_0\) ed \(L=f(x_0)\), quando mi muovo intorno ad \(x_0\) vado a finire in un intorno di L.

In tutto ciò NON ci interessa quanto vale la funzione nel punto \(x_0\)!

Come per la continuità, prendiamo un intorno V di L e mi domando se esiste un intorno di \(x_0\) tale che la funzione nell'intorno di \(x_0\) va a finire nell'intorno di L determinato prima.

Detto in un altro modo:

\[ \lim_{x \rightarrow a} f(x) = L \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0 \; \exists \delta > 0 . (|x - a| < \delta \rightarrow |f(x) - L| < \epsilon) \]

Il limite può essere di un punto NON appartenente al dominio, basta sia di accumulazione

Nella definizione di limite non serve che \(x_0\) sia nel dominio della funzione.
Basta che sia un punto di accumulazione per il dominio (ovvero, un punto nel dominio o "appiccicato" al dominio).

Questa definizione vale quando \(x_0\) e \(L\) sono nei reali, che quando sono \(\pm \infty\)

Dimostrazione della definizione con \(x_0\) ed \(L\) \(\in \reals \cup {\pm \infty}\)

\(x_0 \in \reals, \; L \in \reals\)\(x_0 \in \reals, \; L = + \infty\)\(x_0 \rightarrow + \infty, \; L \in \reals\)\(x_0 \rightarrow + \infty, \; L \in + \infty\)

L'intorno \(u\) di \(x_0\) è \(V=(x_0 - \delta, x_0 + \delta)\) come da definizione
E, sempre da definzione, \(V\) intorno di \(L\) (sulle y) è \(V= (L - \epsilon, L + \epsilon)\)
Possiamo quindi dire \(x \in u\) (con \(|x-x_0| < \delta\)) e \(f(x) \in V\) (ovvero \(f(x_0)-\epsilon < f(x) < f(x_0) + \epsilon\) )
La definizione quindi è questa:

\[ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = L \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; . \; \biggr(x \in A, |x - x_0| < \delta \text{ e } x \ne x_0 \rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \epsilon \biggr) \]

Stavolta, \(V\) intorno di \(+ \infty\) (sulle y) è una semiretta \(V= (a, + \infty)\)
Quindi \(f(x) \Leftrightarrow f(x) > a\) (infinito è più grande di ogni numero reale a)

\[ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = + \infty \Leftrightarrow \forall a \in \reals \; \exists \delta > 0 \; . \; \biggr(x \in A, |x - x_0| < \delta \text{ e } x \ne x_0 \rightarrow f(x) > a \biggr) \]

Quando la funzione ad infinito ha un numero nei reali, stiamo semplicemente dicendo che c'è un valore di x oltre il quale, anche se x assume un valore più grande a numero reale,

\[ \lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = L \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0 \; \exists a \in \reals \; . \; \biggr(x > a \rightarrow |f(x) - L | < \epsilon \biggr) \]

\[ \lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = + \infty \Leftrightarrow \forall a \in \reals \; \exists b \in \reals \; . \; \biggr(x > b \rightarrow f(x) > a \biggr) \]

Ovviamente le stesse cose valgono anche con \(- \infty\)

Parallelismo con la continuità

Il concetto di limite è molto simile a quello di continuità.
La differenza principale è che:

• Nel limite non guardiamo il punto \(x_0\) ma il suo intorno.
  Inoltre consideriamo solo i punti di accumulazione (quindi anche punti esterni al dominio (come 0 con la funzione \(\frac 1 x\)). Inoltre non consideriamo i punti isolati in quanto non sono di accumulazione)
• Nella continuità guardiamo il valore \(x_0\) ed un suo intorno, considerando ogni punto nel domino (quindi anche i punti isolati)

Inoltre nella continuità \(x_0\) può essere uguale ad x, quindi \(x_0 = x \Rightarrow f(x) - f(x_0) = 0\)

La definizione di limite e continuità infine possono essere viste compatibili se (oltre al requisito \(x \ne x_0\)) si scambiano tra di loro L ed \(x_0\)

Teorema dell'unicità del limite

Teorema dell'unicità del limite

Se il limite esiste, allora è unico.
Questo perché dire che una funzione tende ad un valore \(L_1\) per x che tende a \(x_0\) significa che si avvicina a quel valore quando x si avvicina a \(x_0\), quindi non può tendere contemporaneamente ad \(L_2\) perché non può avvicinarsi a due valori distinti contemporaneamente.

Limiti destri e sinistri

Definzione di limite destro e sinistro

\(A \subset \reals, x_0 \in Acc(A), x_0 in \reals\)
\(f: A \rightarrow \reals\), l in \(\bar \reals\) è il limite di f(x) per x che tende a \(x_0\) da destra e si scrive

\[ \lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x) =f \]

Se \(\forall V\) intorno di l esiste \(\delta >0\) tale che \(x_0 < x < x_0 + \delta, x \in A \Rightarrow f(x) \in V\).
Qui si possono notare due cose:

1. Il fatto che x sia diverso da \(x_0\) si può osservare dall'uso del minore stretto (quindi non mi interessa neanche in questo caso quanto vale la funzione del punto)
2. Il motivo per il quale \(x_0\) è finito (in \(\reals\)) è perché non ha senso avvicinare \(+\infty\) da destra

---

Da sinistra, se \(x_0 - \delta < x < x_0, x \in A \Rightarrow f(x) \in V\)

Questo significa che nella definizione di limite, si considerano solo i "mezzi intorni" a desta o a sinistra

Esempio di limite da destra e da sinistra

Prendendo la funone \(f: (-\infty, 0) \cup (0, + \infty) \rightarrow \reals\)
Definita come
\(f(x)= \begin{cases} -1 \text{ se } x < 0 \\ 1 \text{ se } x > 0 \end{cases}\)

In questo caso, il limite per x che tende a 0 da destra di f(x) vale 1 (\(\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = 1\)) e quello che tende a 0 da sinistra -1 (\(\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = -1\)).

In questo caso non esiste il limite per f(x) che tende a 0, perché il limite che tende a 0 da destra è diverso dal limite per x che tende a 0 da sinistra.

Il limite esiste solo se i limiti da destra e da sinistra sono uguali

\[ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x) = L \]

Nella definzione di limite destro si usa solo il "mezzo intorno" destro e stessa cosa con quello sinistro.
Se vengono messi insieme si ottiene la definizione di limite.

Funzione definitivamente positiva e negativa

Funzione definitivamente positiva e negativa

\(A \subset \reals, f: A \rightarrow \reals, x_0 \in Acc(A)\)
Si dice che \(\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = L^+\) (con \(L \in \reals\)), se:

1. \(\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = L\)
2. Esiste u intorno di \(x_0\) tale che \(x \in u \cap A \{x_0\} \Rightarrow f(x) > L\)

Ciò significa che la funzione "tende" al valore ma da 'sopra':

La stessa definizione vale per \(L^-\)

Esempio di limite positivo

\[ f(x) = \frac 1 x \qquad \lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = 0^+ \]

Questo perché considerare la funzione vicino \(+ \infty\), la funzione tende a 0.
Scegliendo una semiretta (e quindi un intervallo \((a, + \infty)\)) come intorno u
\(a > 0 \Rightarrow f(x) > 0\) (in questo caso 0=l), e quindi possiamo dire che la funzione è definitivamente positiva
In questo caso a noi interessa che la funzione sia positiva in un intorno del punto di cui calcoliamo il limite

Teorema della permanenza del segno

Teorema della permanenza del segno

\(A \subset \reals, f: A \rightarrow \reals, x_0 \in Acc(A)\)
Se esisiste \(\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = L \in \bar \reals\) e \(L \ne 0\) allora esiste un intorno u di \(x_0\) tale che se \(x \in A \cap u \{x_0\}\) allora f ha lo stesso segno di L.

[44:00]

Continuità di una funzione a destra o sinistra

Funzione continua a destra o sinistra

Dato \(A \subset \reals, x+0 in A, x_0 \in Acc(A)\)
Se \(\lim_{x \rightarrow x_{0^+}} f(x) = f(x_0)\), allora si dice che f è continua a destra in \(x_0\).
Se \(\lim_{x \rightarrow x_{0^0-} f(x) = f(x_0)\), allora si dice che f è continua a sinistra in \(x_0\).

Funzione continua a destra o sinistra

Riprendendo l'esempio della funzione vista prima e modificandola appena, di dà la seguente funzione:
\(f(x)= \begin{cases} -1 \text{ se } x < 0 \\ 1 \text{ se } x > 0 \end{cases}\)

In questa funzione, il limite per x che tende a \(0^+\) vale quanto la funzione a 0.
Quando la funzine presenta questo comportamento, viene detta funzione continua a destra.
Ovviamente lo stesso discorso vale anche per il discorso "a sinistra"

Teorema di confronto

Teorema di confronto

\(A \subset \reals, x_0 \in Acc(A), f,g: A \rightarrow \reals\)
Se esistono \(\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = L_1\) e \(\lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = L_2\)
Se esiste u intorno di \(x_0\) tale che \(x \in u \cap A \backslash \{x_0\} \Rightarrow f(x) \le g(x)\), allora \(L_1 \le L_2\).

Ovvero, se si hanno due funzioni in cui nel grafico una delle due funzioni assume valori maggiori allo stesso punto, la disuguaglianza "passa" al limite. Nelle ipotesi corrette quindi:

\[ f(x) \le g(x) \Rightarrow \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) \le \lim_{x \rightarrow x_0} g(x) \]

Il teorema non funziona con minore/maggiore stretto

Se \(f(x) > g(x)\) potrei concludere che \(\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) < \lim_{x \rightarrow x_0} g(x)\)?
No, perché prendendo ad esempio le funzioni \(g(x) = \frac 1 x\) e \(f(x) = - \frac 1 x\) su \(x > 0\), entrame le funzioni tendono a 0; ed ecco che una disuguaglianza stretta diventa debole.
Quindi \(f(x) < g(x) \Rightarrow \lim_{x \rightarrow x_0} \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) \le \lim_{x \rightarrow x_0} g(x)\)

Le disuguaglianze passano quindi al limite ma diventano deboli.

Teorema dei carabinieri

Teorema di dei carabinieri

\(A \subset \reals, x_0 \in Acc(A), f,g, h: A \rightarrow \reals\)
Se esistono \(\lim_{x \rightarrow x_0} f(x)= L\) e \(\lim_{x \rightarrow x_0} h(x)= L\) (L in questo caso ha lo stesso valore).
Se esiste un intorno \(u\) di \(x_0\) tale che \(x \in A \cap u \backslash \{x_0\} \Rightarrow f(x) \le g(x) \le h(x)\), allora esiste \(\lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = L\)

Ovvero, se abbiamo tre funzioni, dall'esistenza dei limiti di f ed h (uguali tra loro) deduco che esiste il limite di g.
Rispetto al teorema di confronto, dove si sa che i limiti delle funzioni g ed h esistono, in questo caso non so se esiste il limite di G ma sapendo che la funzione è compresa tra due funzioni ed il limite delle due funzioni è L, deduco che il limite di g sia L.

Uso di "metà" del teorema

Se la funzione di sinistra va a \(\pin\), spinge a \(\pin\) tutto quanto (quindi ogni funzione alla destra della disequazione non può che essere qualcosa che va a più infinito).
Lo stesso concetto lo ho quando la parte della disequazione più a sinistra va a \(\min\)
Ho bisogno di entrambe le metà quando il limite è un numero finito ed ho bisogno delle altre funzioni per "schiaccia" sia da sopra che da sotto la funzione in mezzo.

Teorema di somma e prodotto di limiti

Teorema di somma e prodotto di limiti

\(A \subset \reals, x_0 \in Acc(A), f,g: A \rightarrow \reals\)
Supponiamo esistano i limiti \(\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = L_1\) e \(\lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = L_2\) con \(L_1, L_2 \in \bar \reals\)
Allora:

1. Se ha senso \(L_1 + L_2\), allora esiste \(\lim_{x \rightarrow x_0} (f+g)(x) = L_1+L_2\)
2. Se ha senso \(L_1 \cdot L_2\), allora esiste \(\lim_{x \rightarrow x_0} (f \cdot g)(x) = L_1 \cdot L_2\)

Casi di indeterminazione

Il "Se ha senso" nella definizione precedente serve per escludere i casi di indeterminazione:

• \(+ \infty \cdot - \infty\) e viceversa
• \(\pm \infty \cdot 0\)

Esempi di casi di indeterminazione

Somma di \(+ \infty\) con \(- \infty\)

Ponendo \(f(x) = 2x\) e \(g(x) = -x\)
Le due funzioni hanno i limiti che a \(+ \infty\) valgono rispettivamente \(+ \infty\) e \(- \infty\).
La loro somma è quindi questa:

\[ \lim_{x \rightarrow + \infty} (f + g)(x) = \lim_{x \rightarrow + \infty} (2x - x) = \lim_{x \rightarrow + \infty} x = + \infty \]

In questo caso avremmo che \((+ \infty) + (- \infty) = + \infty\)

Se invece prendo \(f(x) = \frac x 2\) e \(g(x) = -x\), allora i rispettivi termini per x che tende a \(+ \infty\) varranno \(+ \infty\) e \(- \infty\)
Ma se proviamo a fare il discorso che abbiamo appena fatto:

\[ \lim_{x \rightarrow + \infty} (f + g)(x) = \lim_{x \rightarrow + \infty} (\frac x 2 - x) = \lim_{x \rightarrow + \infty} - \frac x 2 = - \infty \]

In questo caso avremmo che \((+ \infty) + (- \infty) = - \infty\)

Dato che il risultato di una somma deve essere costante, scegliamo di trattare le operazioni tra infiniti come casi particolari e quindi di non risolverle algebricamente.
Non ha senso parlare di somma.
Per questo motivo \((+ \infty) + (- \infty)\) non ha senso e si dice che il limite è indeterminato.

---

Il prodotto \(0 * + \infty\) si considera allo stesso modo rispetto alla somma:
Considerando la funzione \(f(x) = \frac 1 x\) (che tende a 0) e la funzione \(g(x) =x\), che tende a \(+ \infty\)

\[ \lim_{x \rightarrow + \infty} (\frac 1 x \cdot x) = \lim_{x \rightarrow + \infty} 1 = 1 \]

Ed in questo caso avremmo \((0) \cdot (+ \infty) = 1\)

Prendendo invece \(f(x) = \frac 1 x\) (che tende a 0) e la funzione \(g(x) =x^2\), che tende a \(+ \infty\)

\[ \lim_{x \rightarrow + \infty} (f \cdot g)(x) = \lim_{x \rightarrow + \infty} (\frac 1 x \cdot x^2) = \lim_{x \rightarrow + \infty} x = + \infty \]

Quindi avremmo \(0 \cdot (+ \infty) = + \infty\).
Quindi \(0 \cdot (+ \infty)\) non ha senso.

Risoluzione dei casi di indeterminazione

Una funzione che tende ad un numero finito è limitata

\(A \subset \reals, x_0 \in Acc(A), f: A \rightarrow \reals\)
Se esiste \(\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = L\) e \(L \in \reals\) (\(L\) non è \(\pm \infty\)), allora f è limitata in un intorno di \(x_0\).
Ovvero esiste un intorno \(u\) di \(x_0\) ed \(\exists M \in R, M > 0\) tale che \(x \in u \cap A \Rightarrow |f(x)| \le M\)

Quindi una funzione che tende ad un numero finito, vicino al punto deve essere finita (limitata).

Esempio di funzione limitata che tende a 0

\(f(x) = \frac 1 x\) è limitata in un intorno di \(+ \infty\) perché (\(\lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = 0\)

E da un certo punto in poi la funzione sta tra \(\pm M\), dato che la funzione tende ad un numero finito (e quindi da un certo punto in poi è finita, essendo la funzione limitata)

Funzione infinitesima

Funzione infinitesima, divergente e convergente

Se \(\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = 0\), allora si dice che f è infinitesima per x che tende a \(x_0\).
Se \(\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = + \infty\), si dice che f diverge positivamente per x che tende ad \(x_0\).
Se \(\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = - \infty\), si dice che f diverge negativamente per x che tende ad \(x_0\).
Se \(\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = L\) e \(L \in \reals\), f converge a L per x che tende ad \(x_0\).

Se f è limitata inferiormente in un intorno di \(x_0\) e \(\lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = + \infty\), allora il limite per \(\lim_{x \rightarrow x_0} (f+g)(x) = + \infty\).
Se f è limitata superiormente in un intorno di \(x_0\) e \(\lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = - \infty\), allora il limite per \(\lim_{x \rightarrow x_0} (f+g)(x) = - \infty\).
Se f è limitata superiormente in un intorno di \(x_0\) e \(\lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = 0\), allora il limite per \(\lim_{x \rightarrow x_0} (f \cdot g)(x) = 0\).
Una funzione infinitestima per una limitata è una funzione infinitesima

La somma f + g è indeterminata quando una funzione va a + infinito ed una a - infinito; quindi mi basta che la funzione sia limitata inferiormente (perché è un caso in cui la funzione non va a - infinito) per dire che la somma va a più infinito (e viceversa).
Nel caso di prodotto di una funzione limitata per una infinitesima: per rimuovere l'indeterminazione mi "basta dire" che la seconda funzione è limitata.

Tutte queste cose appena evidenziate derivano dal teorema dei carabinieri

Esempio: Applicazione del teorema sul limite della somma con funzioni senza limite

Prendendo la funzione \(\limit {+ \infty} x + sin(x)\), possiamo scomporla in due:
\(\limit {+ \infty} x = + \infty\)
\(\limit {+ \infty} sin(x)\) che non esiste
In questo caso non si può applicare il teorema sul limite della somma (che richede che entrambi i limiti esistano).
Tuttavia sin(x) è una funzione limitata inferiormente; Quindi:

\[ \limit \pin x + sin(x) = \pin \]

Questo perché \(x-1 \le x+sin(x)\) (perché \(sin(x)\) è limitat inferiormente): per il teorema dei carabinieri \(x-1\) tende a \(\pin\), quindi anche \(x + sin(x)\) tende a \(\pin\).

Limite del reciproco

Limiti dei reciproci

Se \(\limit {x_0} f(x)= 0^+\) allora \(\limit {x_0} \frac 1 {f(x)} = \pin\)
Se \(\limit {x_0} f(x) = 0^-\) allora \(\limit {x_0} \frac 1 {f(x)} = \min\)
Se \(\limit {x_0} f(x) = \pin\) allora \(\limit {x_0} \frac 1 {f(x)} = 0^+\)
Se \(\limit {x_0} f(x) = \min\) allora \(\limit {x_0} \frac 1 {f(x)} = 0^-\)
Se \(\limit {x_0} f(x) = L\) con \(L \ne 0, \pin, \min\) allora \(\limit {x_0} \frac 1 {f(x)} = \frac 1 L\)

Questa proposizione ci dice che il limite del reciproco di una funzione (ammesso che sia definita), è il reciproco del limite:
Se f tende a L, \(\frac 1 f\) tende a \(\frac 1 L\)

\[ \displaylines{ f \rightarrow L \Rightarrow \frac 1 f \rightarrow \frac 1 L \\ \frac 1 {0^+} = \pin, \quad \frac 1 {0^-} = \min, \quad \frac 1 \pin = 0^+, \quad \frac 1 \min = 0^- } \]

Esistenza dei limiti per funzioni monotone

Esistenza dei limiti per funzioni monotone

\(a, b \in \bar \reals, f: (a,b) \rightarrow \reals\) con f debolmente crescente.
In tal caso esistono:

• \(\limit {a^+} f(x) = \inf_{x \in (a,b)} f(x)\)
• \(\limit {b^-} f(x) = \sup_{x \in (a,b)} f(x)\)

L'opposto vale quando la funzione è debolmente decrescente (invertendo estremo superiore ed inferiore)

Avevamo visto che le funzioni monotone assumono massimo e minimo in un intervallo a destra se il dominio ha massimo ed il minimo a sinistra se il dominio ha minimo
Questo teorema ci dice che in una funzione monotona i limiti esistono sempre.

Esempio

\[ \displaylines{ f:(0,\pin) \rightarrow \reals \quad f(x) = - \frac 1 x \\ \limit {0^+} - \frac 1 x = \min = \inf(f) \\ \limit \pin - \frac 1 x = 0 = \sup(f) } \]

Cambio di variabile

Per risolvere alcuni limiti che si presenteranno, può essere necessario effettuare un cambio di variabile.
Un cambio di variabile è fatto quando si sostituisce una funzione (ad esempio \(e^x\) con una variabile come \(y\))
Quando questo accade, è necessario cambiare anche il limite, per far sì che non perda di significato:

\[ \lim \pin e^x = \lim_{y \to \pin} y \]

Limiti fondamentali

Esistono alcuni limiti fondamentali:

Somma e prodotto di limiti

• \(\limit \pin x = \pin\)
• \(\limit \pin x^n = (\lim_{n \rightarrow \pin} x) \cot (\lim_{n \rightarrow \pin} x) \cdot ...\) (questo è il teorema su prodotto di limiti) \(=(\pin)\cdot (\pin) \cdot ... = \pin\)
• \(\limit \pin \frac 1 x = \frac 1 \pin = 0\)
• \(\limit \pin \frac 1 {x^n} = 0\)

Limiti di poliniomi

Un polinomio di grado n è qualcosa del tipo \(p(x) = a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + ... + a_{1} \cdot x + a_0\)
Dove \(a_0, a_1, ..., a_n\) sono i coefficienti del polinomio e sono numeri reali (\(a_0, a_1, ..., a_n \in \reals\)).
n è invece il grado del polinomio (\(n \in \naturals\)).

Esempio di risoluzione di una forma indeterminata

Il limite ad infinito di un polinomio è spesso una forma indeterminata: \(\lim \pin 3x^2 - 7x + 1 = \pin \min + 1\)
Questa è quindi una forma indeterminata.

Per eliminarla:

\[ \displaylines{ \limit \pin 3x^2(1 - \frac 7x {3x^2} + \frac 1 {3x^2}) = \\ = \limit \pin 3x^2(1- \frac 7 {3x} + \frac 1 {3x^2}) = \\ = \pin(1- \frac 7 \pin + \frac 1 \pin) = \\ = \pin (1 - 0 - 0) = \pin } \]

Raccogliamo quindi il \(3x^2\) e poi dividiamo, facendo infine il limite.

Dato un polinomio possiamo quindi sempre raccogliere il monomio di grado più grande e poi dividere per lo stesso.

\[ \displaylines{ p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = \\ = a_nx^n (1 + \frac {a_{n-1}} {a_n} \cdot \frac {x^{n-1}} {x^n} + ... + \frac {a_1} {a_n} \cdot \frac x {x^n} + \frac {a_0} {a_n} \cdot \frac 1 {x^n}) } \]

A questo punto ho tutti termini che tendono a 0 se x tende a \(\pin\) (o anche se x tende a \(\min\)).
Quello che ottendo quindi è che \(\limit \pin a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = \limit \pin a_nx^n\).
Lo stesso discorso vale anche per quando x tende a \(\min\).

Quindi quando la variabile x tende a \(\pm \infty\), il polinomio si comporta come si comporterebbe il monomio di grado più grande.

Esempio di comportamento del poliniomio rispetto al suo grado maggiore

\[ \limit \min -2x^5+3x^2 = \limit \min -2x^5 = -2(\min)^5 = (-2)(\min) = \pin \]

Funzioni razionali

Una funzione razionale è una funzione \(\frac {p(x)} {q(x)}\) dove p e q sono polinomi:

\[ \displaylines{ p(x) = a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + ... + a_{1} \cdot x + a_0 \\ q(x) = b_m \cdot x^m + b_{m-1} \cdot x^{m-1} + ... + b_{1} \cdot x + b_0 } \]

Quindi il limite della funzione sarà equivalemtne al conto che si fa con i polinomi:

\[ \displaylines{ \limit {\pm \infty} \frac {p(x)} {q(x)} = \\ = \limit {\pm \infty} \frac {a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0} {b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0} \\ = \limit {\pm \infty} \frac {a_nx^n} {b_mx^m} } \]

Esempio di funzioni razionali

\[ \displaylines{ \limit \pin \frac {7x^4 + 5x^2} {-2x^3 + x} = \\ = \limit \pin \frac {7x^4} {-2x^3} = \\ = \limit \pin \frac {7x} {-2} = \min } \]

In questo caso abbiamo un eccesso di grado al numeratore (al numeratore abbiamo un grado 4, al denominatore abbiamo un grado 3), quindi il limite va a \(\pm \infty\) a seconda del sengno dei coefficienti.
Se fosse successo l'opposto (il grado del denominatore suepriore al grado del numeratore), il limite sarebbe andato a 0
Se invece il grado fosse stato lo stesso, il limite sarebbe andato al rapporto dei coefficenti tra i termini di grado maggiore.

Altri limiti fondamentali

\[ \displaylines{ \limit \pin e^x = \pin \\ \limit \min e^x = 0^+ \\ \limit {0^+} log(x) = \min \\ \limit \pin log(x) = \pin \\ } \]

Limiti notevoli

• \(\limit 0 \frac {sin(x)} x = 1\)

Questo limite è una forma indeterminata, in quanto il \(\limit 0 sin(x) = 0\), mentre il \(\limit 0 x = 0\), tuttavi si può dimostrare che il limite faccia uno.

Dimostrazione - Da fare

//TODO - work in progress Guadando una circonferenza, può essere facile dire che la tangente è sempre più grande del seno per lo stesso valore di x (per il primo quadrante).

\[ \displaylines{ |sin(x)| \le x \le |tan(x)| = \\ = |sin(x)| \le x \le |\frac {sin(x)}{cos(x)}| = \quad (\cdot \frac 1 {|sin(x)|})\\ = \frac {|sin(x)|} {|sin(x)|} \le \frac x {sin(x)} \le \frac {|sin(x)|}{|cos(x)|} \cdot \frac 1 {|sin(x)|} = \\ = 1 \le \frac x {sin(x)} \le \frac 1 {cos(x)} = \quad \text{ (inversione delle frazioni) }\\ = 1 \ge \frac {sin(x)} x \ge cos(x) \\ \\ \limit 0 1 \ge \limit 0 \frac {sin(x)} x \ge \limit 0 cos(x) = \\ = 1 \ge \limit 0 \frac {sin(x)} x \ge 1 \Rightarrow \limit 0 \frac {sin(x)} x = 1 } \]

Da questo limite se ne possono poi dimostrare altri:

• \(\limit 0 \frac {1 - cos(x)}{x^2} = \frac 1 2\)

Dimostrazione

\[ \displaylines{ \frac {1 - cos(x)}{x^2} = \frac {(1 - cos(x)) (1 + cos(x))}{x^2 (1 + cos(x))} \\ = \frac {1 - cos^2 (x)} {x^2 (1 + cos(x))} = \frac {sin^2 (x)}{x^2 1 + cos(x)} = \\ = \frac {sin(x)} x \cdot \frac {sin(x)} x \frac 1 {1 + cos(x)} \\ \\ \limit 0 \frac {sin(x)} x \cdot \frac {sin(x)} x \frac 1 {1 + cos(x)} = 1 \cdot 1 \cdot \frac 1 {1+1} = \\ = \limit 0 \frac {1 - cos(x)}{x^2} = \frac 1 2 } \]

• \(\limit 0 \frac {e^x -1} x = 1\)
• \(\limit 0 \frac {log(1 + x)} x = 1\)

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• \(\limit {0^+} x \cdot \log(x) = 0 \cdot (\min)\) (forma indeterminata)
  Per questa si effettua il cambio di variabile, quindi \(y=log(x), x = e^y\)
  Se \(x \to 0^+ \Rightarrow y = log(x) \to \min\)
  \(\lim_{y \to \min} e^y \cdot y\) (questa è ancora una forma indeterminata, \(e^\min \cdot (\min) = 0^+ \cdot (\min)\))
  Quindi è necessario fare un ulteriore cambio di variabile:
  \(z = -y\), quindi se \(y \to \min \Rightarrow z \to \pin\)
  \(\lim_{y \to \min} e^y \cdot y = \lim_{z \to \pin} e^{-z} \cdot -z = \lim_{z \to \pin} \frac {-z} {e^z} = 0\)
  \(\lim_{x \to 0^+} x\cdot log(x) = 0\)

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• \(\limit {0^+} x^\alpha log(x)\) (con \(\alpha > 0\)); Anche in questo caso dobbiamo ricorrere alla sostituzione:
  \(y = x^\alpha\), quindi \(x = y^{\frac 1 \alpha}\)
  Se \(x \to 0 \Rightarrow y = x ^ \alpha \rightarrow 0\)
  \(\limit {0^+} x^\alpha log(x) = \lim_{y \to 0^+} y \cdot log(y^{\frac 1 \alpha})\) \(= \lim_{y \to 0^+} y \cdot \frac 1 \alpha log(y)\) \(= \frac 1 \alpha \lim_{y \to 0^+} y \cdot log(y) = 0\)

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• \(\limit {0^+} (1 + x)^{\frac 1 x} = \lim_{y \to 1} e^y = e^1 = e\)

Dimostrazione

\(\limit {0^+} (1 + x)^{\frac 1 x} = (1 + 0)^{\frac 1 0^+ } = 1^\pin\)
Questa è una forma indeterminata:
\((1 + x)^{\frac 1 x} = e^{log(1 + x)^{\frac 1 x}} = e^{\frac 1 x log(1+x)}\)
Da qui sostituiamo \(y = \frac 1 x log(1 + x)\)
Se \(x \to 0^+\), a quanto deve tendere y?
\(\limit {0^+} \frac 1 x log(1 + x) = 1\) (Limite notevole)
\(\limit {0^+} (1 + x)^{\frac 1 x} = \lim_{y \to 1} e^y = e^1 = e\)

Nuovi casi di indeterminazione

\(f(x) > 0, \limit {x_0} f(x)^{g(x)}\).
Quando questa è una forma indeterminata? Possiamo manipolare il limite per rendere la domanda più semplice:
\(f(x)^{g(x)}=e^{log(f(x)^{g(x)})} = e^{g(x) \cdot log(f(x))}\)
Abbiamo quindi spostato la domanda:
quando è indeterminato il limite \(\limit {x_0} g(x) \cdot log(f(x))\)?
Abbiamo 3 casi:

1. \(g \to 0, f \to \pin \So log(f) \to \pin\)
   \(0 \cdot \pin\) quindi \((\pin)^0\) è indeterminata
2. \(g \to 0, f\to 0^+ \So \log f \to \min\)
   \(\So g \cdot \log(f) = 0 \cdot (\min)\)
3. \(g \to \pm \infty, f \to 1\), quindi \(log(f) \to 0\)
   \(g \cdot log(f) = \pm \infty \cdot 0\)
   \((1)^{\pm \infty}\) è indeterminata

Abbiamo quindi 4 nuove forme indeterminate:

\[ (\pin)^0, \qquad (0^+)^0, \qquad (1)^{\pin}, \qquad (1)^{\min} \]

Tutti e quattro i casi si risolvono riscrivendoli nella forma esponenziale

Esempio

$\limit {0^+} x^x = \limit {0^+} e^{log(xx)} = $
\(=\limit {0^+} e^{x \cdot log(x)} = e^0 = 1\)

Qui è stato "nascosto" il cambio di variabile, che sarebbe stato \(y = x \cdot log(x)\), se \(x \to 0^+ \So y \to 0\) \(\So \lim_{y \to 0} e^y = e^0 = 1\)

Esponenziale

Dato \(\limit \pin a^x\), ci sono 3 possibili soluzioni:

\[\limit \pin a^x = \begin{cases} \pin & \text{ se } a > 1 1 & \text{ se } a = 1 0^+ & \text{ se } 0 < a < 1 \end{cases} \]

Ovviamente a deve essere maggiore di 0
Se invece vogliamo far tendere \(x \to \min\), possiamo effettuare un cambio variabile: \(y = -x\), quindi se \(x \to \min \Rightarrow y \to \pin\).
Di conseguenza: \(\limit \min a^x = \lim_{y \to 1} a^-y = \lim_{y \to \pin} \frac 1 {a^y}\)
Quindi abbiamo di nuovo 3 casi:

\[ \lim_{y \to \pin} \frac 1 {a^y} = \begin{cases} 0^+ & \text{ se } a > 1 1 & \text{ se } a = 1 \pin & \text{ se } 0 < a < 1 \end{cases} \]

I risultati sono anche facilmente visibili:

\(a >1\)	\(0<a<1\)

Potenze

Consideriamo \(\alpha \in \reals\) e quindi \(x^\alpha\)

Observation

Notare che se si consdiera \(x^\alpha\) con \(\alpha\) non razionale, si è forzati a prendere \(x>0\) (è pari o dispari \(\pi\)?)

Quindi, \(\limit \pin x^\alpha\) vale:

\[ \limit \pin x^\alpha = \begin{cases} \pin & \text{ se } \alpha > 0 \\ 1 & \text{ se } \alpha = 0 \\ 0^+ & \text{ se } \alpha < 0 \end{cases} \]

Limite della composizione di funzioni

Teorema del Limite della composizione di funzioni

\(A, B \subset \reals, f: A \rightarrow B, g: B \rightarrow \reals\)
\(x_0 \in Acc(A)\)
Se esiste \(\limit {x_0} f(x) = y_0\), e \(y_0 \in Acc(B)\) e \(\exists \lim_{y \rightarrow y_0} g(y) = L \in \bar \reals\)
E se è verificata almeno una delle seguenti due ipotesi:

• \(y_0 \in B\) e g è continua in \(y_0\)
• \(\exists u\) intorno di \(x_0\) tale che \(x \in u \cap A \backslash \{x_0\} \Rightarrow f(x) \ne y_0\)

Allora \(\limit {x_0} (g \circ f)(x) = L\), dove L è il limite di g

Quindi \(\limit {x_0} (g \circ f)(x) = \lim_{y \rightarrow y_0} g(y)\)

Esempio dell'uso del teorema

Calcoliamo \(\limit \min arctg(x^2)\)

Il limite è una composizione:
\(f(x) = x^2\), \(g(y) = arctg(y)\)
\((g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = arctg(x^2)\)
\(x_0 = \min\), \(y_0 = \limit {x_0} f(x) = \limit \min x^2 = \pin\)

A questo punto dobbiamo rendeci conto del caso in cui ci troviamo:

• Il primo caso non è verificato in quanto \(y_0 = \pin\) e non appartiene al dominio di g
• Il secondo caso è verificato, perché \(f(x) \ne y_0 \Rightarrow f(x) \ne \pin\), che è sempre vero.

Procediamo quindi applicando il teorema:
\(\lim_{y \to y_0} g(y) = \lim_{y \to \pin} arctg(y) = \frac \pi 2\)
Quindi \(\limit \min arctg(x^2) = \frac \pi 2\)

Osservazione: la soluzione appena vista è un teorema di cambiamento di variabile

Riprendendo l'esempio appena visto, siamo partiti da \(\limit \min arctg(x^2)\).
Cambiamo poi variabile e poniamo \(y=x^2\), tuttavia troviamo la x anche come argomento del limite (che tende a \(\min\)).
Quindi se \(x \to \min\) a quanto tende y?
Basta fare \(\limit \min y = \limit \min x^2 = \pin\)

Cambiando variabile otteniamo quindi:
\(\limit \min arctg(x^2) \Rightarrow \lim_{y \to \pin} arctg(y) = \frac \pi 2\)

La seconda ipotesi nel teorema necessaria perché se la composizione tra due funzioni va a toccare in modo insistente il punto limite, dato che il secondo limite non si interessa di quanto valga la funzione nel centro dell'intorno, e dato che la funzione f va solo nel centro dell'intorno "non si può accorgere di quel che sta succedendo(?)"

Uso dell'ipotesi due nel problema

\(f: \reals \to \reals \quad f(x) = 1 \quad \forall x \in \reals\)
\(x_0 = 0\)
\(g(x) = \begin{cases} 3 \text{ se } y=1 \\ 5 \text{ se } y \ne 1 \\ \end{cases}\)
\(g: \reals \to \reals\)
\((g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(1) = 3 \forall x \in \reals\)
Quindi la funzione \((g \circ f)(x)\) è sempre 3.
Il limite di una funzione costante è quindi una costante:
\(\limit 0 (g \circ f)(x) = 3\)

Prendendo poi come \(y_0 = \limit {x_0} f(x) = \limit 0 f(x) = 1\), e quindi:
\(\limit {x_0} (g \circ f)(x) \ne \lim_{y \to y_0} g(y)\)
Però non vale nessuna delle due ipotesi

Confronti tra infiniti

Dato un limite del tipo \(\limit \pin \frac {a^x}{x^\alpha}\), abbiamo:

\[\limit \pin \frac {a^x}{x^\alpha} = \begin{cases} \pin & \text{ se } a > 1 0^+ & \text{ se } 0< a < 1 \end{cases} \]

Se \(a=1 \Rightarrow a^x = 1\), quindi \(\lim \pin \frac {a^x}{x^\alpha} = \limit \pin \frac 1 {x^\alpha}\)
Quindi quello che domina i limite è l'a al numeratore, ovvero l'esponenziale, che vince sulla potenza.

L'unico caso in cui l'esponenziale non guida la funzione è quando a è pari ad 1.

Esempio

\(a=\frac 1 2 \quad \alpha = -3\)

\[ \limit \pin \frac {a^x}{x^\alpha} = \limit \pin \frac {(\frac 1 2)^x} {x^{-3}} = \limit \pin \frac {x^3}{2^x} = 0^+ \]

Anche in questo caso quello che domina il limite è l'esponenziale (il \(2^x\) al denominatore), che è molto più veloce rispetto alla potenza

Confronto tra logaritmo e potenza

Quando abbiamo a che fare con un logaritmo, conviene usare il cambio di variabile e sostituirlo (come mostrato nell'esempio)

Esempio: cambio di potenza del logaritmo

\(\limit \pin \frac {log(x)} x\), quindi facciamo il cambio di variabile \(y = log(x)\) (e quindi \(x = e^x\) una volta effettuato il cambio variabile nel limite)
Se \(x \to \pin \Rightarrow \limit \pin log(x) = \pin\) \(( y = log(x) \to \pin)\)

\(\limit \pin \frac {log (x)} x = \lim_{y \to \pin} \frac y {e^y} = 0\)

---

\(\limit \pin \frac { (log(x))^\beta }{x^\alpha}\), \(\alpha, \beta \in \reals\), \(\alpha, \beta > 0\)
Anche in questo caso iniziamo con il cambio di variabile \(y = log(x) \Rightarrow x=e^y\)
Quindi se \(x \to \pin\) (se x tende a \(\pin\)), \(\Rightarrow y \to \pin\) (allora anche y tende a \(\pin\))
Risostituiamo inoltre x con \(e^y\)

\(\limit \pin \frac { (log(x))^\beta }{x^\alpha} = \lim_{y \to \pin} \frac {y^\beta}{(e^y)^\alpha} =\)
\(=\lim_{y \to \pin} \frac {y^\beta}{(e^{y \cdot \alpha}} = \lim_{y \to \pin} \frac {y^\beta}{(e^\alpha)^y} =\)
Assegnamo quindi ad \(a = e^\alpha\):
\(\lim_{y \to \pin} \frac {y^\beta}{a^y}\)
Da qui sappiamo che \(\alpha > 0\) e quindi \(e^\alpha > 1\)
Questo limite ha quindi come risultato 0, perché l'esponenziale al denominatore porta a 0 il denominatore